عددهای صحیح و گویا

خلاصه درس

مجموعه‌های اعداد

N = {1, 2, 3, ...} ← مجموعه اعداد طبیعی

W = {0, 1, 2, 3, ...} ← مجموعه اعداد حسابی

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ← مجموعه اعداد صحیح

Q ← مجموعه اعداد گویا (همه اعداد کسری و اعشاری مثبت و منفی)

تذکر مهم: هر عددی که بتوانیم آن را به صورت کسری بنویسیم، گویا است؛ بنابراین همهٔ اعداد طبیعی، حسابی و صحیح گویا هستند.
تذکر مهم: مخرج کسر نمی‌تواند صفر باشد؛ زیرا در این صورت، کسر تعریف نشده است.

اعداد گنگ (اصم)

Q' ← مجموعه اعداد گنگ (اعدادی که نمی‌توانیم به صورت کسری بنویسیم)

مانند: √2، √3، √5، π (عدد پی)

دقت داشته باشید: مقدار دقیق عدد π هنوز مشخص نشده است و به طور تقریبی آن را ۳/۱۴ در نظر می‌گیریم که این عدد عددی گویا است؛ زیرا می‌توانیم آن را به صورت کسری بنویسیم:
۳/۱۴ = ۳۱۴/۱۰۰

قوانین جمع اعداد صحیح

الف) اگر دو عدد هم علامت باشند:

بدون در نظر گرفتن علامت‌ها، دو عدد را جمع می‌کنیم و علامت یکی از آنها را پشت جواب می‌گذاریم.

(۱۲+) + (۱۳+) = (۱۲+۱۳)+ = ۲۵+
(۸-) + (۱۰-) = (۸+۱۰)- = ۱۸-

ب) اگر دو عدد هم علامت نباشند:

بدون در نظر گرفتن علامت‌ها، دو عدد را کم می‌کنیم و علامت عدد بزرگتر را پشت جواب می‌گذاریم.

(۱۵+) + (۸-) = (۱۵-۸)+ = ۷+
(۱۲-) + (۵+) = (۱۲-۵)- = ۷-

تعریف اعداد گویا

عدد گویا عددی است که بتوان آن را به صورت کسر a/b نوشت، که در آن a و b اعداد صحیح هستند و b ≠ 0.

Q = { a/b | a,b ∈ Z , b ≠ 0 }

مجموعه اعداد گویا

مثال‌هایی از اعداد گویا

عدد ۵ → 5/1

عدد ۰ → 0/1

عدد ۳- → -3/1

عدد ۰/۷۵ → 3/4

عدد ۰/۳۳۳... → 1/3

عدد ۲/۵ → 5/2

جمع اعداد گویا

a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d)

مثال:
2/3 + 1/4 = (2×4 + 1×3) / (3×4) = (8 + 3)/12 = 11/12

تفریق اعداد گویا

a/b - c/d = (a×d - c×b) / (b×d)

مثال:
3/4 - 1/2 = (3×2 - 1×4) / (4×2) = (6 - 4)/8 = 2/8 = 1/4

ضرب اعداد گویا

a/b × c/d = (a×c) / (b×d)

مثال:
2/3 × 4/5 = (2×4) / (3×5) = 8/15

تقسیم اعداد گویا

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d) / (b×c)

مثال:
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = (2×5) / (3×4) = 10/12 = 5/6

نکته مهم: برای ساده‌سازی کسرها، باید صورت و مخرج را بر بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) تقسیم کنیم.